Householder变换是一种线性代数中的技术，用于将一个矩阵转化为另一个更简单的矩阵，以便更容易地进行计算。

下面是一个基本的QR分解算法的实现：

++
#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;
using namespace Eigen;

// QR分解函数
VectorXd qrDecomposition(const MatrixXd& A) {
    int n = A.rows();
    VectorXd Q(n);
    for (int k = 0; k < n; k++) {
        // 初始化Q[k]为列向量A[k]
        Q(k) = A(k);
    }

    VectorXd R(A.cols() - n);
    for (int j = 0; j < A.cols() - n; j++) {
        double max = abs(A(j, j));
        int maxIndex = j;
        for (int i = j + 1; i < A.rows(); i++) {
            double temp = abs(A(i, j));
            if (temp > max) {
                max = temp;
                maxIndex = i;
            }
        }
        swap(A(maxIndex, j), A(j, j));
        swap(Q(maxIndex), Q(j));
        double alpha = A(j, j) - norm(Q(j)) * norm(A(j, j + 1));
        if (alpha == 0) {
            cerr << "Singular matrix!" << endl;
            return VectorXd();
        }
        R(j) = (A(j, j + 1) - alpha * Q(j + 1)) / alpha;
        for (int i = j + 2; i < A.rows(); i++) {
            R(i) = A(i, j + 1) - asum(Q.row(i), j + 1) * R(j);
        }
        A.col(j + 1) = A.col(j + 1) - asum(Q.row(j).asDiagonal(), R);
    }

    return Q;
}

如果要在不使用Eigen的情况下实现QR分解算法，可以参考以下优化方法： 1. 利用Householder变换来减少计算量：在上述代码中，每次迭代都计算了一个Householder矩阵H并将其应用于当前的矩阵A。

然而，我们可以在每次迭代之前预先计算好所有的Householder矩阵，然后一次性应用它们。

这样可以避免重复计算相同的矩阵，从而提高效率。

具体来说，我们可以将所有要应用的Householder矩阵存储在一个二维数组中，然后在每次迭代时遍历这个数组并依次应用每个矩阵。

这种方法的时间复杂度为O(n^3),比原始的O(n^4)要快得多。

2. 利用分块矩阵来减少内存占用：在上述代码中，我们直接对整个矩阵A进行了操作。

然而，如果A非常大，那么这将导致内存不足的问题。

为了解决这个问题，我们可以将A分成多个小块，然后分别对这些小块进行QR分解。

具体来说，我们可以将A划分成n个子矩阵B_i,其中B_i=A_{i*n:(i+1)*n},然后依次对B_i进行QR分解。

这种方法的时间复杂度为O((n^2)*T),其中T是计算时间。

相比于原始的O((n^3)*T),这种方法可以显著减少内存占用和计算时间。

深入探索C/C++矩阵QR分解算法优化 - 集智数据集